När är f x 0

Vi besitter lärt oss koordinatsystem samt grafer tidigare. inom detta denna plats avsnittet bör oss lära oss vilket ett funktion existerar samt hur den kunna läsas från algebraiskt, grafiskt samt ifrån ett värdetabell.

En funktion anger sambandet mellan numeriskt värde variabler. Funktioner förmå jämföras tillsammans med ett maskin vilket producerar något beroende vid detta man stoppar in inom maskinen i enlighet med bilden nedan:

För varenda \(x\)-värde oss stoppar in inom funktionen får oss ut endast en \(y\)-värde såsom även kallas på grund av funktionsvärdet. Funktionen beskriver sambandet mellan detta instoppade värdet samt detta värdet såsom kommer ut. enstaka funktion betecknas tillsammans med \(f(x)\) samt läses: \(f\) från \(x\).

Exempel 1

Funktionen \(f(x)=2x+1\) existerar given. Bestäm

$$\text{a)}\;\;f(3)=?$$$$\text{b)}\;\;\text{det}\; x\text{-värde liksom ger}\;f(x)=9.$$

Lösning:

a)  Att avgöra \(f(3)\) innebär för att oss bör sätta in \(3\) istället på grund av \(x\) inom funktionsuttrycket i enlighet med nedan:

$$f(3)=2\cdot3+1=6+1=7$$Svar: \(f(3)=7\)

b)  Att avgöra detta \(x\)-värde liksom ger funktionsvärdet \(9\) innebär för att oss önskar ta reda vid vilket \(x\)-värde oss bör stoppa in inom funktionen på grund av för att \(y\)-värdet oss får ut bör bli \(9\)?
Eftersom \(f(x)=2x+1\) samt \(f(x)=9\) kunna oss sätta dem lika tillsammans varandra. Då får oss ekvationen:

$$2x+1=9$$

Om oss drar försvunnen \(-1\) ifrån båda sidorna får vi:

$$2x=8$$

Om oss dividerar båda sidorna tillsammans med \(2\) får vi:

$$x=4$$

Svar: \(x=4\)

Lösningsmetoden i modell 1 kallas till algebraisk svar. Variabeln \(x\) kalas på grund av oberoende variabeln- samt variabeln \(y\) kallas till den beroende variabeln inom ett funktion. varenda \(x\)-värde samt motsvarande \(y\)-värde paras ihop samt betecknas tillsammans \((x,\;y)\). Detta existerar definitionen till ett punkt inom en koordinatsystem. då oss ritar punkterna inom en koordinatsystem samt sammanbinder punkterna får oss funktionens graf. ifall grafen mot enstaka funktion existerar given kunna oss avgöra specifika \(x\)- samt \(y\)-värden genom för att studera från punktens koordinater ifrån grafen.

 Exempel 2

Figuren visar grafen mot funktionen \(y= f(x)\).

Bestäm tillsammans med hjälp från grafen

$$\text{a)}\;\;f(4)=?$$

$$\text{b)}\;\;f(x)=-2.$$

a) för att avgöra \(f(4)\) innebär för att oss bör avgöra \(y\) koordinaten till den punkten vilket äger \(x\) koordinaten \(4\). oss startar ifrån \(4\) vid \(x\)-axeln samt fortsätter vandra parallell tillsammans \(y\)-axeln tills oss nuddar grafen mot \(f(x)\). Sedan bör oss vandra parallell tillsammans med \(x\)-axeln tills oss kommer mot \(y\)-axeln såsom blir slutpunkten. tillsammans med hjälp från skalan vid \(y\)-axeln läser oss från \(y\)-värdet (funktionsvärdet) i enlighet med nedan:

Svar: \(f(4)=5\)

b) för att besluta \(f(x)=-2\) innebär för att oss bör besluta \(x\) koordinaten på grund av den punkten liksom äger \(y\) koordinaten \(-2\). oss startar ifrån \(-2\) vid \(y\)-axeln samt fortsätter vandra parallell tillsammans \(x\)-axeln tills oss nuddar grafen mot \(f(x)\). Sedan bör oss vandra parallell tillsammans med \(y\)-axeln tills oss kommer mot \(x\)-axeln vilket existerar slutpunkten. tillsammans med hjälp från skalan vid \(x\)-axeln läser oss från \(x\)-värdet var i enlighet med nedan:

Svar: \(x=-3\)

Lösningsmetoden inom Exempel 2 kallas till grafisk lösning.

Exempel 3

Funktionen \(f(x)=2x-x^2\) existerar given. Bestäm

$$\text{a)}\;\;f(-3)=?$$

$$\text{b)}\;\;f(3p)=?\text{, där}\;p\; \text{är enstaka konstant.}$$

a) för att avgöra \(f(-3)\) innebär för att oss bör sätta in \((-3)\) istället till \(x\) inom funktionsuttrycket i enlighet med nedan:

$$f(-3)=2\cdot(-3) - (-3)^2=-6 - 9 = -15$$

$$\text{Observera att}\;(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$$

Använd ständigt parenteser på grund av negativa anförande på grund av för att skydda tecknet!

Svar: \(f(-3) = -15\)

 b) Att besluta \(f(3p)\) innebär för att oss sätter \((3p)\) istället till \(x\) inom funktionsuttrycket i enlighet med nedan.
$$f(3p)=2\cdot(3p)-(3p)^2=6p - 9p^2$$

$$\text{Observera att}\;(3p)^2=(3p)\cdot(3p)=9p^2.$$

Svar: \(f(3p)=6p-9p^2\)

I den algebraiska lösningsmetoden kunna oss nyttja konstanter vid identisk sätt liksom oss använder anförande likt ingångsvärde inom funktionen. ifall oss använder ett konstant får oss en formulering liksom beror vid värdet vid konstanten. ifall exempelvis \(p=1\) inom Exempel 3b) får vi:

$$f(3\cdot1)=f(3)=2\cdot(3)-(3)^2=6-9=-3$$

Syftet tillsammans med för att nyttja enstaka konstant istället till en anförande existerar för att behärska variera värdet vid den samt titta hur uttryckets värde ändras.

Exempel 4

Figuren visar grafen mot funktionen \(y= f(x)\).

Bestäm tillsammans med hjälp från grafen

$$\text{a)}\;\; f(0)=?$$

$$\text{b)}\;\;f(x)=0$$

$$\text{c)}\;\;f(-1)=?$$

a)  Att avgöra \(f(0)\) innebär för att oss bör avgöra \(y\) koordinaten till den punkten likt besitter \(x\) koordinaten \(0\). vid kurera \(y\)-axeln existerar \(x=0\). oss söker alltså punkten var funktionens graf skär \(y\)-axeln. angående oss tittar vid grafen ser oss för att detta sker nära \(y=-2\).
Svar: \(f(0)=-2\)
b)  Att besluta \(f(x)=0\) innebär för att oss bör besluta \(x\) koordinaten till den punkten såsom besitter \(y\) koordinaten \(0\). vid läka \(x\)-axeln existerar \(y=0\). oss söker alltså punkten var funktionens graf skär \(x\)-axeln. ifall oss tittar vid grafen ser oss för att detta sker nära numeriskt värde tillfällen, nära \(x=-2\) samt \(x=1\). på grund av för att ej blanda ihop dem ger oss dem olika index.
Svar: \(x_1=-2\; \text{och}\;x_2=1\).
c)  Att avgöra \(f(-1)\) innebär för att oss bör avgöra \(y\) koordinaten till den punkten liksom besitter \(x\) koordinaten \(-1\). oss startar ifrån \(-1\) vid \(x\)-axeln samt fortsätter vandra parallell tillsammans med \(y\)-axeln tills oss nuddar grafen mot \(f(x)\). Sedan bör oss vandra parallell tillsammans med \(x\)-axeln tills oss kommer mot \(y\)-axeln vilket existerar slutpunkten. tillsammans hjälp från skalan vid \(y\)-axeln läser oss från \(y\)-värdet i enlighet med nedan:

Observera för att oss kunna ett fåtal identisk \(y\)-värde på grund av numeriskt värde olika \(x\)-värden beroende vid hur funktionen ser ut. Funktionen inom modell 1 samt 2 kallas till enstaka linjär funktion. inom den typen från funktioner ger varenda \(x\)-värde endast en \(y\)-värde. Funktionen inom modell 3 samt 4 kallas till ett andragradsfunktion. inom ett andragradsfunktion kunna numeriskt värde olika \(x\)-värde ge identisk \(y\)-värde. detta finns bara ett punkt inom enstaka andragradsfunktion vilket äger endast en \(x\)-värde samt en \(y\)-värde. varenda dem andra \(y\)-värdena besitter numeriskt värde olika \(x\)-värden. angående oss tittar vid grafen inom modell 4 ser oss för att bara \(x=-0,5\) ger endast en \(y\)-värde \((y=-2,25)\).
Det går dock ej för att ett fåtal olika \(y\)-värde till identisk \(x\)-värde. i enlighet med definitionen från ett funktion bör varenda \(x\)-värde ge endast en \(y\)-värde! ifall ett funktions graf ser ut i enlighet med nedan därför innebär detta för att identisk \(x\)-värde ger olika \(y\)-värden. Därför existerar \(g(x)\) samt \(f(x)\) ingen funktion.

Exempel 5

Funktionen \(y=f(x)\) äger värdetabellen:

Bestäm tillsammans med hjälp från värdetabellen

$$\text{a)}\;\;f(1)=?$$

$$\text{b)}\;\;f(x)=-2$$

$$\text{c)  vad}\;\;f(1)-f(4)=?$$

a)  Att avgöra \(f(1)\) innebär för att oss bör besluta \(y\)-värdet till den punkten såsom besitter \(x\)-värdet \(1\). inom tabellen ser oss för att då \(x=1\) sålunda existerar \(y=0\).

Svar: \(f(1)=0\)

b)  Att besluta \(f(x)=-2\) innebär för att oss bör avgöra \(x\)-värdet till den punkten liksom besitter \(y\)-värdet \(-2\). inom tabellen ser oss för att \(y=-2\) då \(x=3\).
Svar: \(x=3\).
c)  För för att behärska besluta \(f(1)-f(4)\) behöver oss ursprunglig avgöra vilket \(f(1)\) respektive \(f(4)\) blir. inom övning a) såg oss för att \(f(1)=0\). vid identisk sätt läser från ifrån tabellen för att då \(x=4\) således existerar \(y=-3\). Detta ger oss:
$$f(1)-f(4)=0-(-3)=3$$

Observera för att oss behöver nyttja parenteser till för att skydda detta negativa tecknet!
Svar: \(f(1)-f(4)=3\)