Vad är derivatan av e^x^2

Tidigare lärde oss oss hur formeln till derivatans definition fungerar samt hur oss tillsammans med hjälp från den kunna beräkna derivatan inom ett viss punkt på grund av enstaka given funktion. Dock kunna detta artikel ofint för att behöva komma tillbaka mot derivatans definition varenda gång man bör derivera (räkna ut toleransnivåer för) ett funktion.

Derivatan betecknas olika inom olika litteratur. T ex \(f '(x)\) samt \( \frac{d(f(x))}{dx}\) . denna plats använder oss \(f '(x)\). Beteckningen \( \frac{d(f(x))}{dx}\) kallas deriveringsoperator liksom påförs ett funktion \(f(x)\).

Det finns deriveringsregler såsom är kapabel härledas utifrån derivatans definition samt sedan används till för att beräkna derivatan på grund av en antal vanligt återkommande funktioner.

I tidigare del beräknade oss derivatan inom enstaka punkt. idag skall oss beräkna derivatan till samtliga x inom funktionens läka definitionsmängd. Då ersätter man punkten a tillsammans med variabeln x. Derivatan blir då inom sig enstaka funktion inom identisk definitionsmängd.

Men innan oss börjar kolla vid deriveringsreglerna tar oss enstaka repetition från funktionsbegreppet. Mer angående funktionsbegreppet inom Matte 1 samt Matte 2.

Funktionsbegreppet existerar centralt till derivatan.

En funktion f existerar ett regel/flera regler var ett input omvandlas mot output (se bild). T ex plast in inom ett maskin samt ut kommer muggar. Volymkontroll ökas vid enstaka förstärkare, således ökas volymen. varenda inställt värde vid volymkontrollen medför ett viss resultat ut.

Mer formellt existerar ett funktion ett regel liksom avbildar enstaka definitionsmängd från x entydigt vid enstaka värdemängd f(x).

På identisk sätt existerar d/dx ett regel likt besitter f '(x) vilket output, osv.

Vi bör för tillfället härleda några från dem enklaste samt nyttigaste deriveringsreglerna. detta viktigaste existerar ej för att behärska härleda dessa vid personlig grabb, utan främst för att behärska följa tillsammans med inom samt förstå härledningen, samt för att sedan behärska nyttja dem deriveringsregler likt oss kommer fram till.

Förstagradsfunktioners derivata

Låt oss börja tillsammans med ett lätt linjär funktion samt beräkna dess derivata:

$$f(x)=5x$$

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{5(x+h)-5x}{h}=\frac{5h}{h}=5$$

Här ser oss för att derivatan existerar densamma till varenda värden vid x - derivatan existerar ständigt 5 på grund av denna funktion.

Om oss studera beräkning ovan kunna oss ana oss mot för att detta finns en allmänt samband mellan den enkla raka funktionens k-värde samt derivatan (som ni nog minns bestämmer k-värdet just enstaka linje lutning samt existerar lika på grund av samtliga punkter längs linjen):

$$f(x)=ax$$

$$f{}'(x)=a$$

Nästa modell existerar räta linjens ekvation: y = f(x) = kx+m
Använder oss derivatans definition 

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{k(x+h)+m-(kx+m)}{h}= \\ =\frac{kx+kh+m-kx-m}{h}=\frac{kh}{h}=k$$

Precis vilket inom avsnittet innan ser oss för att f '(x) = k, detta önskar yttra derivata inom punkten x  existerar lika tillsammans k-värdet, riktningskoefficienten.

Andragradsfunktioners derivata

Vi kalkylerar idag derivata till ett lätt andragradsfunktion:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^{2}+2xh+h^{2})-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6xh+3h^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(6x+3h)}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}(6x+3h)=6x $$

I detta på denna plats exemplet fick oss alltså följande:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=6x$$

Sambandet mellan denna enkla andragradsfunktion samt denna andragradsfunktions derivata existerar ej lika enkel för att titta såsom till den enkla förstagradsfunktionen, dock således denna plats ser detta generella sambandet ut till fallet tillsammans enkla andragradsfunktioner:

$$f(x)=ax^{2}$$

$$f'(x)=2ax$$

Tredjegradsfunktioners derivata

På identisk sätt vilket oss såg för att oss kunde utföra på grund av enkla andragradsfunktioner, kunna oss härleda enkla tredjegradsfunktioners derivata.

För enstaka lätt exempelfunktion från tredjeplats graden får oss nästa derivata:

$$f(x)=2x^{3}$$

$$f'(x)=6x^{2}$$

Det allmänna sambandet till enkla tredjegradsfunktioner samt deras derivata ser ut sålunda här:

$$f(x)=ax^{3}$$

$$f'(x)=3ax^{2}$$

Innan oss tittar vid hur polynomfunktionerna deriveras allmänt tittar oss vid "nolltegradsfunktionen" detta önskar yttra x⁰ liksom motsvarar funktioner såsom besår från enbart ett konstant term.

Nolltegradsfunktioners derivata

En nolltegradsfunktion existerar ett funktion tillsammans med enstaka x⁰-term liksom den begrepp liksom besitter högst gradtal. en modell vid ett sådan funktion existerar följande:

$$f(x)=5 $$

För för att titta för att detta på denna plats verkligen existerar ett nolltegradsfunktion kunna man nedteckna angående uttrycket således här:

$$f(x)=5=5\cdot 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left \{ x^{0}=1 \right \} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 5\cdot 1=5\cdot x^{0}$$

Denna funktions graf existerar ett horisontell linje (alltså ett linje liksom existerar parallell tillsammans med x-axeln). enstaka sådan linje borde äga lutningen k=0, vilket även borde artikel värdet vid funktionens derivata.

Vi använder derivatans definition:

$$f(x)=5=5x^{0}$$

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)^{0}-5x^{0}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h}= $$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=\lim_{h \to 0}0=0$$

Denna nolltegradsfunktions derivata blev många riktigt lika tillsammans 0, såsom väntat. inom själva verket förmå man upprepa härledningen ovan på grund av enstaka godtycklig nolltegradsfunktion \(f(x) = a\) samt komma fram mot för att derivatan blir lika tillsammans med 0.

Det generella sambandet mellan enstaka nolltegradsfunktion samt dess derivata blir alltså:

$$f(x)=a$$

$$f'(x)=0$$

Viktigt för att tänka vid existerar för att oss kan inte inledningsvis sätta in punkten inom funktionen samt sen derivera i enlighet med deriveringsreglerna. vilket modell, beräkna \(f '(2)\) till funktionen

$$f(x) = x^2 $$

om oss ursprunglig sätter in x = 2 får oss \(f(2) = 4\) samt då skulle \(f '(2) = 0\) i enlighet med deriveringsreglerna. Därför måste oss inledningsvis derivera tillsammans avseende vid variabeln x och oss får istället

$$f'(x) = 2x$$

$$f'(2) = 4$$

Detta beror vid för att derivatan bara kunna tas vid ett funktion \(f(x)\) ifall oss söker \(f'(x)\) inom ett godtycklig punkt. titta funktionsbegreppet tidigare. 

N-tegradsfunktioners derivata

Om man deriverar enkla polynomfunktioner från högre gradtal tillsammans hjälp från derivatans definition, visar detta sig för att deras derivata följer en allmänt mönster då dem existerar från gradtal n (n ≠ 0):

$$f(x)=a\cdot x^{n}$$

$$f'(x)=an\cdot x^{n-1}$$

Derivata på grund av polynomfunktioner tillsammans med flera termer

Nu äger oss undersökt derivatan till enkla polynomfunktioner från olika gradtal. dock vad sker angående oss besitter ett polynomfunktion vilket innehåller begrepp från olika gradtal? en modell vid ett sådan polynomfunktion existerar följande:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

Att härleda detta funktionsuttrycks derivata går för att utföra vid identisk sätt liksom oss gjort tidigare till enklare funktioner, tillsammans med hjälp från derivatans definition. angående oss besitter räknat korrekt således kommer oss fram mot nästa samband mellan denna exempelfunktion samt dess derivata:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

$$f'(x)=2x+3$$

Om oss jämför termerna inom uttrycket till derivatan tillsammans med funktionen inom detta modell, sålunda ser oss för att dessa motsvarar summan från derivatan från dem detaljerad termerna inom detta ursprungliga funktionsuttrycket.

Generellt förmå man yttra för att sambandet mellan enstaka polynomfunktion såsom består från flera begrepp samt denna funktions derivata följer denna regel:

$$f(x)=a(x)+b(x)$$

$$f'(x)=a'(x)+b'(x)$$

Alltså: derivatan på grund av all polynomfunktionen får man genom för att summera derivatan till varenda begrepp inom funktionen på grund av sig.

Deriveringsreglerna

Vi sammanfattar resultatet ovan inom ett tabell:

 Där k existerar ett konstant.

Derivatan på grund av några andra vanligt förekommande funktioner

Vi bör även derivera några andra vanliga funktioner, dock utan härledning tillsammans hjälp från derivatans definition. oss nöjer oss tillsammans med för att derivera utifrån reglerna oss nyss kommit fram till.

Vi börjar tillsammans med när x är nämnare inom enstaka kvot. 
$$f(x)= \frac{1}{x}$$

Vi kunna i enlighet med potensreglerna notera ifall den således här

$$f(x)= \frac{1}{x} = x^{-1}$$

Nu förmå oss derivera denna funktion i enlighet med reglerna på grund av xⁿ

$$f'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1}= -x^{-2} $$

Vi skriver idag tillbaka den såsom ett kvot

$$f'(x) = -x^{-2} = \frac{-1}{x^2} $$

Nästa funktion existerar en enkelt fall var variabeln ligger inom en rotuttryck:

$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=$$

$$=\frac{1}{2\cdot x^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\sqrt{x}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Enkelt fall tillsammans funktion var exponenten existerar negativ:

$$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

$$f{}'(x)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$f{}'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$$

Sista exemplet existerar då oss undersöker hur detta ser ut angående oss besitter ett konstant multiplicerat tillsammans enstaka funktion.

$$f(x) = k \cdot g(x) $$

När oss deriverar detta får helt enkelt

$$f'(x)= k \cdot g'(x) $$

Vad innebär detta? Jo ifall oss vet för att funktionen \(f(x)=\sqrt{x} \) äger derivatan \(f'(x) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\) sålunda gäller i enlighet med regeln ovan för att på grund av funktionen 

$$f(x) = 3\sqrt{x}$$

har derivatan 

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{x}}$$