Pq formel om p är nämnare
pq-formeln
I detta förra avsnittet stötte oss vid kvadratkomplettering, vilket existerar enstaka teknik såsom oss förmå nyttja till för att åtgärda fullständiga andragradsekvationer. inom detta på denna plats avsnittet bör oss vandra igenom ytterligare ett teknik på grund av svar från fullständiga andragradsekvationer, nämligen pq-formeln. Pq-formeln går för att härledas tillsammans hjälp från kvadratkomplettering samt existerar ett många praktiskt användbar metod.
Som oss besitter sett tidigare kunna fullständiga andragradsekvationer tecknas vid formen
$$ax^{2}+bx+c=0$$
där a, b samt c existerar konstanter, samt a existerar skilt ifrån noll.
För för att behärska nyttja den teknik likt oss introducerar inom detta denna plats avsnittet, den därför kallade pq-formeln, behöver oss inledningsvis notera angående denna allmänna ekvation, därför för att andragradsekvationen står vid formen
$$x^{2}+px+q=0$$
vilket oss fullfölja genom för att dividera samtliga begrepp inom ekvationen tillsammans med koefficienten a (om a äger något annat värde än 1; ifall a = 1, således innebär detta för att divisionen ej behöver utföras).
Detta existerar identisk önskade form eller gestalt vilket oss stötte vid inom avsnittet ifall kvadratkomplettering.
Koefficienterna p samt q inom denna ekvation existerar vad vilket gett namnet åt den lösningsmetod vilket oss bör vandra igenom. p samt q existerar alltså definierade därför denna plats inom förhållande mot dem koefficienter (a, b samt c) såsom oss använde till för att förklara den fullständiga andragradsekvationen tidigare inom detta denna plats avsnittet:
$$p=\frac{b}{a}\;\;\;och\;\;\;q=\frac{c}{a}\\$$
Man besitter helt enkelt dividerat koefficienterna a, b samt c tillsammans med a, sålunda för att x²-termen får koefficienten 1.
pq-formeln lyder liksom följer:
$$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
Det önskar yttra för att x, lösningen vid andragradsekvationen, existerar densamma liksom halva koefficienten till x-termen tillsammans med ombytt indikator, plus/minus roten ur kvadraten till halva koefficienten till x-termen minus konstanttermen.
Användning från pq-formeln
För för att visa hur formeln fungerar inom praktiken använder oss oss från nästa exempel
$$4x^{2}+32x+28=0$$
Vi börjar tillsammans för att konstatera för att denna andragradsekvation ej står vid den form eller gestalt liksom oss behöver till för att behärska nyttja pq-formeln - koefficienten framför x²-termen existerar ju ej lika tillsammans 1.
Därför måste oss inledningsvis dividera samtliga begrepp inom ekvationen tillsammans med 4 samt får därigenom:
$$\frac{4x^{2}}{4}+\frac{32x}{4}+\frac{28}{4}=\frac{0}{4}$$
$$x^{2}+8x+7=0$$
När andragradsekvationen idag står inom korrekt struktur förmå oss vandra vidare samt nyttja pq-formeln.
I detta inledande steget identifierar oss våra p- respektive q-värden, vilka oss kunna studera från direkt inom vår ekvation:
$$p=8$$
$$q=7$$
När oss väl äger dessa värden återstår bara för att stoppa in p- samt q-värdet inom pq-formeln.
Vi får:
$$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{8}{2} \right )^{2}-7}$$
$$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{16-7}$$
$$x=-4\pm\sqrt{9}$$
$$x=-4\pm 3$$
Härifrån får oss våra numeriskt värde rötter till:
$$\\\left\{\begin{matrix} x_{1}=-4+3=-1\\ \\ x_{2}=-4-3=-7 \end{matrix}\right. \\$$
Som oss ser existerar båda rötterna reella lösningar. En andragradsekvation besitter ständigt numeriskt värde lösningar. detta existerar däremot ej säkert för att samtliga lösningar existerar reella.Härnäst bör oss titta närmare vid beneath vilka villkor ett andragradsekvation kommer för att äga numeriskt värde reella lösningar, ett reell svar, alternativt sakna reella lösningar.
Diskriminanten
Uttrycket beneath rottecknet inom pq-formeln,
$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$$
kallas på grund av ekvationens diskriminant. Värdet vid diskriminanten talar ifall till oss hur flera reella lösningar vilket andragradsekvationen har.
Är diskriminanten större än noll äger andragradsekvationen numeriskt värde reella lösningar. existerar diskriminanten lika tillsammans med noll äger andragradsekvationen ett reell svar (ekvationen besitter ett dubbelrot). existerar diskriminanten mindre än noll saknar andragradsekvationen reella lösningar.
Vi sammanfattar dem tre olika fallen:
$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q>0\Rightarrow 2\;reella\;lösningar$$
$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q=0\Rightarrow 1\;reell\;lösning$$
$$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q<0\Rightarrow inga\;reella\;lösningar$$
När oss beräknar tillsammans enstaka konkret andragradsekvation innebär detta denna plats inom praktiken för att oss inom detta inledande fallet kommer för att ett fåtal en positivt värde för att dra roten ur, inom detta andra fallet en noll-värde för att dra roten ur (det önskar yttra kurera "roten ur"-uttrycket kommer för att bli lika tillsammans noll), samt inom detta tredjeplats fallet en negativt värde för att dra roten ur, vilket ger för att detta saknas reella lösningar.
Härledning från pq-formeln
pq-formeln är kapabel härledas tillsammans med hjälp från kvadratkomplettering från ett allmän andragradsekvation. inom den på denna plats avsnittsdelen bör oss visa hur detta förmå vandra mot, på grund av den vilket existerar intresserad.
Vi börjar tillsammans ett andragradsekvation skriven vid formen
$$x^{2}+px+q=0$$
Det inledande steget blir för att flytta ovan konstanttermen q mot detta högra ledet genom för att subtrahera q ifrån båda sidorna. oss får då följande:
$$x^{2}+px+q{\color{Red} \,-\,q}=0{\color{Red} \,-\,q}$$
$$x^{2}+px=-q$$
I nästa steg önskar oss hitta detta anförande d vilket oss önskar addera mot ekvationen på grund av för att behärska forma en kvadrerat formulering inom detta vänstra ledet.
Värdet vid talet d förmå oss räkna ut som
$$d=\left (\frac{p}{2} \right )^{2}$$
Och kompletterar båda sidorna tillsammans med konstanten d
$$x^{2}+px+ \left (\frac{p}{2} \right )^{2}=\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$$
Vi vet för att oss härifrån kunna nedteckna ifall vänsterledet tillsammans med hjälp från kvadreringsreglerna eftersom oss valt en anförande d tillsammans med just detta avsikt, sålunda oss får:
$$\left ( x+\left (\frac{p}{2} \right ) \right )^{2}=\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q$$
Härifrån tar oss sen kvadratroten ur båda sidorna
$$\sqrt{\left ( x+\left (\frac{p}{2} \right ) \right )^{2}}=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
$$x+\left (\frac{p}{2} \right )=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
Och sedan löser oss ut x
$$x+\left (\frac{p}{2} \right ){\color{Red} \,-\,\left (\frac{p}{2} \right )}=\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}{\color{Red} \,-\,\left (\frac{p}{2} \right )}$$
$$x=-\left ( \frac{p}{2} \right )\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$
Som oss är kapabel titta äger oss idag fått fram pq-formeln, vilket oss inom fortsättningen förmå nyttja på grund av för att relativt enkelt hitta lösningar mot andragradsekvationer. inom själva verket fungerar pq-formeln även utmärkt vid dem andragradsekvationer vilket ej existerar fullständiga, dock för att nyttja den inom dem fallen är kapabel innebära onödigt jobb, eftersom detta till dem specialfallen finns andra metoder vilket oss förmå använda.