Måste man ha matte 4

I Matte 1 fick oss lära oss grunderna inom sannolikhet tillsammans med olika påverkan på grund av ett alternativt fler händelser samt inom Matte 2 fick oss bekanta oss tillsammans normalfördelning, oss kommer för att fördjupa oss inom dessa områden inom detta segment. oss kommer mer särskilt lära oss hur oss förmå integraler bör hjälpa oss för att utföra beräkningar inom sannolikhet tillsammans med fokus vid sannolikhetsfördelning. oss börjar tillsammans för att definiera slumpförsök, slumpvariabel samt sannolikhetsfördelning.

Slumpförsök existerar ett incident såsom äger en resultat oss ej förmå förutse, några modell vid slumpförsök kunna artikel för att kasta enstaka tärning, för att singla slant, för att dra ett lott alternativt dra en kreditkort ur ett kortlek.

Slumpvariabel existerar vilka påverkan våra slumpförsök är kapabel erhålla, exempelvis existerar antal prickar ett slumpvariabel oss får ifall oss äger slumpförsöket för att kasta ett tärning.

Sannolikhetsfördelning beskriver utfallen inom form eller gestalt från enstaka funktion, detta är kapabel artikel både kontinuerligt samt diskreta funktioner. oss tittar vid några exempel.

Exempel 1, sannolikhetsfördelning på grund av kast tillsammans ett tärning

Vi tittar vid en modell likt ej existerar ett diskret sannolikhetsfördelning

Exempel 2, utifrån uppgifter ifrån SMHI kunna oss producera ett sannolikhetsfördelning till slumpvariabeln x nederbörd inom mm samt y-axeln motsvarar sannolikheten, likt föregående exempel.

Notera för att summan från sannolikheterna, liksom oss oftast betecknar P (från engelskans probability), till samtliga resultat nära slumpförsök existerar ständigt 1 alternativt inom andel 100%. inom Sannolikhetsfördelningarnas fall blir denna summa arean beneath funktionen, detta inledande exemplet tillsammans med tärningarna är kapabel oss visa detta genom för att bekräfta för att summan från sannolikheterna inom staplarna blir 1.

$$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = 1$$

Det andra exemplet tillsammans med nederbörd kunna oss visa tillsammans denna bild. 

Täthetsfunktion existerar den funktion \(f(x)\) likt beskriver sannolikhetsfördelningen samt tillsammans med hjälp från denna integral

$$\int_a^b f(x) \: dx$$

så förmå oss svara vid hur massiv sannolikhet detta existerar för att enstaka slumpvariabel x ligger inom intervallet \(a \leq x \leq b\). oss förmå notera detta som

$$P(a \leq x \leq b) = \int_a^b f(x) \: dx$$

Detta existerar således uppenbart maximalt användbart då oss äger kontinuerliga sannolikhetsfördelningar samt detta existerar svårt för att beräkna arean beneath täthetsfunktionen (dvs integralen från \(f(x)\)) vid något annat sätt. inom tidigare exemplet tillsammans med nederbörd skulle täthetsfunktionen bli den räta linje \(f(x) = -0,000078125x+0,0125.\)

Normalfördelningen känner oss igen ifrån Matte 2. oss påminner oss angående kurvan vilket normalfördelningen utgör ser ut således här:

Normalfördelningens täthetsfunktion är

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-1}{2}{\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}^2}$$

där \(\mu\) (grekisk tecken likt heter my) existerar medelvärdet samt \(\sigma\) (grekisk tecken vilket heter sigma) existerar standardavvikelsen. Alltså kunna oss beräkna sannolikheten för att ett slumpvariabel ligger inom en intervall.

Vi tittar vid en modell var oss förmå bekräfta för att detta existerar 68,2% chans för att en värde ligger plus/minus enstaka standardavvikelse ifrån medelvärdet inom ett normalfördelning.

Exempel 3: Längden vid personer inom nation existerar normalfördelad samt äger medelvärde 175 cm samt standardavvikelsen existerar 5 cm. Beräkna hur massiv sannolikheten för att ett slumpvis vald individ inom landet existerar mellan 170 samt 180 cm lång.

Detta intervall utgör medelvärde \(\pm\) 1 standardavvikelse samt ifrån våra tidigare kunskaper ifrån Matte 2 samt bilden ovan förmå oss direkt känna till för att sannolikheten utgör blocken \(34,1%+34,1%=68,2%\), dock oss önskar bekräfta detta tillsammans hjälp från täthetsfunktionen, liksom oss till denna normalfördelning sätter in \(\mu = 175\) samt \(\sigma = 5\)

$$f(x) = \frac{1}{5 \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-1}{2}{\left(\frac{x-175}{5}\right)}^2}$$

Vi förmå för tillfället beräkna sannolikheten \(P(170 \leq x \leq 180)\) tillsammans med integralen

$$ P(170 \leq x \leq 180) = \int_{170}^{180} \frac{1}{5 \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-1}{2}{\left(\frac{x-175}{5}\right)}^2} \: dx \approx 0,682$$

Integralen löser oss tillsammans hjälp från digitala verktyg samt bekräftar för att sannolikheten plats 0,682 = 68,2%.

Nästa modell kunna oss visa upp hur täthetsfunktionen förmå hjälpa oss beräkna sannolikheten till andra intervall än dem likt utgörs från ett alternativt flera standardavvikelser.

Exempel 4: inom enstaka grönområde växer äppelträd samt deras höjd existerar normalfördelad tillsammans medellängd \(\mu =  169\) cm samt standardavvikelsen \(\sigma = 13\) cm. Beräkna sannolikheten för att en slumpmässigt valt träd, x besitter enstaka höjd likt ligger vid intervallet \(180 \leq x \leq 200\).

Eftersom intervallet \(180 \leq x \leq 200\) ej utgörs från olika multiplar från 13 ifrån 169 måste oss nyttja täthetsfunktionen. Täthetsfunktionen på grund av dem normalfördelade äppelträden blir

$$f(x) = \frac{1}{13 \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-1}{2}{\left(\frac{x-169}{13}\right)}^2}$$

och oss är kapabel sätta upp integralen till för att beräkna sannolikheten

 $$ P(180\leq x \leq 200) = \int_{180}^{200} \frac{1}{13 \sqrt{2\pi}} e^{\frac{-1}{2}{\left(\frac{x-169}{13}\right)}^2} \: dx$$

Hur kalkylerar oss denna funktion tillsammans hjälp från digitala hjälpmedel? oss visar tillsammans GeoGebra. oss börjar tillsammans med för att notera in täthetsfunktionen samt byter ut \(\mu =  169\) samt \(\sigma = 13\).

Om ni ej ser den typiska normalfördelade kurvan kunna detta bero vid värdena vid axlarna, notera för att på grund av för att titta kurvan visar oss x-axeln mellan \(100 \leq x\leq 240\) samt y-axelns värden existerar \(-0,1 \leq y \leq 0,175\) på grund av för att kurvan bör synas.

Nu ställer oss upp integralen, detta går antingen för att börja nedteckna integral sålunda kommer alternativen upp alternativt således klickar oss vid "+" pluset samt väljer ”Uttryck” samt oss väljer detta markerade nedan, Integral(Funktion, ifrån x-värde, mot x-värde)

Så väljer oss ”f” täthetsfunktionen oss skrivit in vilket "Funktion" samt avgränsningar ifrån 180 mot 200 vilket nedan.

Vi får resultatet både inom siffror samt markerad liksom area beneath täthetsfunktionen.

Sannolikheten blir alltså
$$P(180\leq x \leq 200) = \int_{180}^{200} f(x) \: dx = \\ = 0,19018… \approx 19\%$$

Sammanfattning

Arean mellan enstaka täthetsfunktionen \(y = f(x)\) samt x-axeln existerar 1 samt tillsammans med hjälp från täthetsfunktionen är kapabel oss beräkna enstaka kontinuerlig slumpvariabel x antar en värde mellan a samt b tillsammans integralen

$$P(a \leq x \leq b) = \int_a^b f(x) \: dx$$